Question

所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．
如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248．
已经证明：若2ⁿ-1是质数，则2^n-1（2ⁿ-1）是完全数，n∈N^*．请写出一个四位完全数

 

；又6=2×3，所以6的所有正约数之和可表示为（1+2）•（1+3）；28=2²×7，所以28的所有正约数之和可表示为（1+2+2²）•（1+7）；
按此规律，496的所有正约数之和可表示为

 

．

Answer 1

分析：利用2ⁿ-1是质数，2^n-1（2ⁿ-1）是完全数，令n=7，可得结论；由496=2⁴×31，可得496的所有正约数之和．

解答：解：∵2ⁿ-1是质数，2^n-1（2ⁿ-1）是完全数，
∴令n=7，可得一个四位完全数为64×（127-1）=8128；
∵496=2⁴×31，∴496的所有正约数之和可表示为（1+2+2²+2³+2⁴）•（1+31）．
故答案为：8128；（1+2+2²+2³+2⁴）•（1+31）．

点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．