Question

【题目】已知椭圆的焦点在原点，左焦点，左顶点，上顶点，的周长为，的面积为.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）是否存在与椭圆交于两点的直线使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（I）；(2)存在， .

【解析】

试题分析：（I）设出椭圆的方程，用待定系数法列的方程解得即可；（II）先假设存在直线，联立直线与椭圆的方程，消去得，由得，设，则，由等价于，可得，于是可得，解得，又由得，进而可得实数的取值范围.

试题解析：

（I）设椭圆的方程为，半焦距为，

依题意的周长为，

的面积为，

又，所以，

所以椭圆的方程为；

（II）存在直线，使得成立，

利用如下：由得，

，

化简得，

设，则，

若成立，即，

等价于，所以，

，

，

化简得，，

将，，解得，

又由，，

从而，，

所以实数的取值范围是.