题目内容
【题目】如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直径，
．
是底面的内接正三角形，
为
上一点，
．
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）要证明
平面
，只需证明
，
即可；
（2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，利用公式
计算即可得到答案.
（1）由题设，知
为等边三角形，设
，
则
，
，所以
，
又
为等边三角形，则
，所以
，
，则
，所以，
同理，又
，所以平面；
（2）过O作
∥BC交AB于点N，因为
平面
，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，
由
，得
，令
，得
，
所以
，
设平面的一个法向量为
由
，得
，令
，得
，
所以
故
，
设二面角
的大小为
，则
.
【点晴】
本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.
练习册系列答案
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【题目】自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
20以下 | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
