Question

已知函数f(x)＝x⁴－4x³＋ax²－1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；

⑴求a的值；

⑵是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx²－1的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由

Answer 1

解析：⑴∵f(x)在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，

∴f’(1)＝0，f’(1)＝4x³－12x²＋2ax|_x＝1＝2a－8＝0，∴a＝4；

⑵由⑴知f(x)＝x⁴－4x³＋4x²－1，由f(x)＝g(x)可得x⁴－4x³＋4x²－1＝bx²－1

即x²(x²－4x＋4－b)＝0．

∵f(x)的图象与g(x)的图象只有两个交点，

∴方程x²－4x＋4－b＝0有两个非零等根或有一根为0，另一个不为0，

∴Δ＝16－4（4－b）＝0，或4 b ＝ 0，∴b ＝ 0或b ＝ 4．