题目内容
如图,三棱锥中,侧面
底面
,
,且
,
.(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)若为侧棱PB的中点,求直线AE与底面
所成角的正弦值.
【解析】第一问中,利用由知,
,
又AP=PC=2,所以AC=2,
又AB=4, BC=2,,所以
,所以
,即
,
又平面平面ABC,平面
平面ABC=AC,
平面ABC,
平面ACP,所以
第二问中结合取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证
平面ABC,又EH//PO,所以EH平面
ABC ,
则为直线AE与底面ABC 所成角,
解
(Ⅰ) 证明:由用由知,
,
又AP=PC=2,所以AC=2,
又AB=4, BC=2,,所以
,所以
,即
,
又平面平面ABC,平面
平面ABC=AC,
平面ABC,
平面ACP,所以
………………………………………………6分
(Ⅱ)如图, 取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,
因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面ABC,
又EH//PO,所以EH平面ABC ,
则为直线AE与底面ABC 所成角,
且………………………………………10分
又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=
,
由(Ⅰ)已证平面PBC,所以
,即
,
故,
于是
所以直线AE与底面ABC 所成角的正弦值为
(Ⅰ) 见解析 (Ⅱ)