Question

【题目】已知函数有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数．

（1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（2）对于(1)中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）减区间为，增区间为，值域；（2）.

【解析】试题分析：（1）设 ，构造函数，利用该函数在 上递增，在上递减，结合复合函数的单调性，可得函数的单调区间和值域；（2）若对任意，总存在，使得成立，等价于的值域是函数的值域的子集，分别求出的值域与函数的值域，利用包含关系，列不等式组求解即可.

试题解析：(1)

设u＝x＋1，x∈[0,3]，1≤u≤4，

则， u∈[1,4]．

由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤1时，f(x)单调递减；

所以减区间为[0，1]；当2≤u≤4，即1≤x≤3时，f(x)单调递增；

所以增区间为[1，3] ;由f(1)＝4，f(0)＝f(3)＝5，得f(x)的值域为[4，5]．

(2)g(x)＝2x+a为增函数，故g(x)∈[a，a+6]，x∈[0,3]．由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴ ， ∴.