题目内容
【题目】已知函数f(x)=x2+a(x+lnx),a∈R. (Ⅰ)若当a=﹣1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)> (e+1)a,求a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题意得x∈(0,+∞); 当a=﹣1时,f(x)=x2﹣x﹣lnx, =
;
∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0;
∴f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是[1,+∞);
(Ⅱ)①当a=0时,f(x)=x2>0,显然符合题意;
②当a>0时,当 时;
f(x)<1+a+alnx ,不符合题意;
③当a<0时,则 ;
对于2x2+ax+a=0,△=a2﹣8a>0;
∴该方程有两个不同实根,且一正一负,即存在x0∈(0,+∞),使得 ;
即f′(x0)=0;
∴0<x<x0时,f′(x)<0,x>x0时,f′(x)>0;
∴f(x)min=f(x0)= =
=
;
∵ ,∴x0+2lnx0﹣(e+2)<0;
∴0<x0<e;
由 得,
;
设y= ,y′=
;
∴函数 在(0,e)上单调递减;
∴ ;
综上所述,实数a的取值范围
【解析】(Ⅰ)a=﹣1时,求出f(x)=x2﹣x﹣lnx,通过求导,根据导数符号即可判断出f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论a的取值:a=0时,容易得出满足题意;a>0时,会发现函数x2+ax在(0,+∞)上单调递增,让 <1,便得到f(x)<1+a+alnx
,从而这种情况不存在;当a<0时,通过求导,容易判断出,存在x0∈(0,+∞),使f′(x0)=0,从而判断出f(x)的最小值f(x0),再由条件f(x)
便可得到x0∈(0,e),并根据f′(x0)=0,可求出
,从而求出a的取值范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减).
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