题目内容
【题目】如图,在正三棱柱中,所有棱长都等于.
(1)当点是的中点时,
①求异面直线和所成角的余弦值;
②求二面角的正弦值;
(2)当点在线段上(包括两个端点)运动时,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】(1); (2).
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,利用异面直线所成角和二面角的求解方法求解;
(2)设出M的坐标,利用空间向量求出线面角的目标式,结合目标式的特征求解范围.
(1)取的中点为建立空间直角坐标系,
则
当是的中点时,则
①
设异面直线和所成角为则=
② 设平面的一个法向量为
则
所以令则
设平面的一个法向量为则
令
设二面角的平面角为,
则
所以
(2)当在上运动时,设
设
则
设直线与平面所成的角为则
设设所以
设
直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为
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