题目内容
【题目】如图，在正三棱柱
中，所有棱长都等于
.
（1）当点
是
的中点时，
①求异面直线
和
所成角的余弦值；
②求二面角
的正弦值；
（2）当点在线段上（包括两个端点）运动时，求直线与平面
所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）
； （2）
.
【解析】
（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角和二面角的求解方法求解；
（2）设出M的坐标，利用空间向量求出线面角的目标式，结合目标式的特征求解范围.
（1）取
的中点为
建立空间直角坐标系
，
则
当
是
的中点时，则
①
设异面直线
和
所成角为
则
=
②
设平面
的一个法向量为
则
所以
令
则
设平面
的一个法向量为
则
令
设二面角
的平面角为
，
则
所以
（2）当在上运动时，设
设
则
设直线与平面所成的角为则
设
设
所以
设
直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为
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