Question

若函数y=ax³+（2-a）x在R上恒为增函数，则

1. A.
   a∈（0，2]
2. B.
   a∈（0，2）∪（2，∞）
3. C.
   a∈（0，2）
4. D.
   a∈[0，2]

Answer 1

D
分析：利用导数与函数单调性的关系转化为f′（x）≥0恒成立处理．
解答：因为函数y=ax³+（2-a）x在R上为增函数，所以y′=3ax²+2-a≥0在R上恒成立，
①当a=0时，显然成立；②当a＞0时，即恒成立，此时≤0，所以0＜a≤2；
③当a＜0时，，不恒成立．
综上，a的取值范围为[0，2]．
故选D
点评：此题考查导函数与函数单调性的关系，可导函数f（x）在某区间上单调递增的充要条件是f′（x）≥0（不恒为0）．