题目内容
若函数y=ax3+（2-a）x在R上恒为增函数，则（ ）A．a∈（0，2]
B．a∈（0，2）∪（2，∞）
C．a∈（0，2）
D．a∈[0，2]
【答案】分析：利用导数与函数单调性的关系转化为f′（x）≥0恒成立处理．
解答：解：因为函数y=ax3+（2-a）x在R上为增函数，所以y′=3ax2+2-a≥0在R上恒成立，
①当a=0时，显然成立；②当a＞0时，即
恒成立，此时
≤0，所以0＜a≤2；
③当a＜0时，
，不恒成立．
综上，a的取值范围为[0，2]．
故选D
点评：此题考查导函数与函数单调性的关系，可导函数f（x）在某区间上单调递增的充要条件是f′（x）≥0（不恒为0）．
解答：解：因为函数y=ax3+（2-a）x在R上为增函数，所以y′=3ax2+2-a≥0在R上恒成立，
①当a=0时，显然成立；②当a＞0时，即
恒成立，此时≤0，所以0＜a≤2；③当a＜0时，
，不恒成立．综上，a的取值范围为[0，2]．
故选D
点评：此题考查导函数与函数单调性的关系，可导函数f（x）在某区间上单调递增的充要条件是f′（x）≥0（不恒为0）．
练习册系列答案
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