Question

设点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线的离心率（　　）

• A．

  5

• B．

  5

  2

• C．

  10

• D．

  10

  2

Answer 1

分析：先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率

解答：解：依据双曲线的定义：|PF₁|-|PF₂|=2a，又∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∵圆x²+y²=a²+b²的半径r=

a2+b2

=c，
∴F₁F₂是圆的直径，
∴∠F₁PF₂=90°
在直角三角形F₁PF₂中
由（3a）²+a²=（2c）²，得e=

c2 a2

=

10

2

故选 D

点评：本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法