Question

已知直线l：x+y+8=0，圆O：x²+y²=36（O为坐标原点），椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵圆心O到直线l：x+y+8=0的距离为，
∴直线l被圆O截得的弦长为，
∵直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，
∴2a=4，∴a=2，
∵椭圆的离心率为e=，
∴c=
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆C的方程为：； …（4分）
（Ⅱ）∵，∴四边形OASB是平行四边形．
假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有，
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0．…（7分）
直线l的斜率显然存在，设过点（3，0）的直线l方程为：y=k（x-3），
由，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
由△=（-24k²）²-4（1+4k²）（36k²-4）＞0，可得-5k²+1＞0，即．…（9分）
∴=，
由x₁x₂+y₁y₂=0得：，满足△＞0．…（12分）
故存在这样的直线l，其方程为．…（13分）
分析：（Ⅰ）计算圆心O到直线l：x+y+8=0的距离，可得直线l被圆O截得的弦长，利用直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，可求a的值，利用椭圆的离心率为e=，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由，可得四边形OASB是平行四边形．假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有，设直线方程代入椭圆方程，利用向量的数量积公式，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用向量的数量积公式、韦达定理是关键．