题目内容
设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足
•
=
•
+
（P与A不重合）．Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC．有下列命题：
①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；
②若QA=QP，则
•
=
•
；
③若QA＞QP，∠BAC=90°，则
=
；
④若QA＞QP，则P在△ABC内部的概率为
（S△ABC，S⊙O分别表示△ABC与⊙O的面积）．
其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）．
| PA |
| PB |
| c |
| b |
| PA |
| PC |
| b-c |
| b |
| PA2 |
①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；
②若QA=QP，则
| QP |
| PB |
| QP |
| PC |
③若QA＞QP，∠BAC=90°，则
| BP |
| CP |
| AB |
| AC |
④若QA＞QP，则P在△ABC内部的概率为
| S△ABC |
| S⊙O |
其中不正确的命题有
分析：根据
•
=
•
+
，可得AP是∠BAC的平分线，利用QA=QB=QC，可得Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，由QA=QP，可知P为
的中点，由QA＞QP，则P在圆内，再对选项判断，即可得出结论．
| PA |
| PB |
| c |
| b |
| PA |
| PC |
| b-c |
| b |
| PA2 |
 |
| BC |
解答：解：∵
•
=
•
+
，
∴
•
-
=
（
•
-
），
∴
•
=
•
，
∴|
|c•cos∠PAB=
|
|•bcos∠PAC，
∴∠PAB=∠PAC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∵QA=QB=QC，
∴Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，
∵∠BAC=90°，△ABC是不等边三角形，
∴点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上不正确；
∵QA=QP，∴P为
的中点，∴OP⊥BC，
∵OP是QP在平面ABC上的射影，∴QP⊥BC，
∴
•
=
•
，故②正确；
③QA＞QP，则P在圆内，∠BAC=90°，则BC为直径，若
=
，则AP为∠BPC的平分线且AP经过点O，与△ABC是不等边三角形矛盾，故③不正确；
④若QA＞QP，∵AP是∠BAC的平分线，所以P在△ABC内部的概率应该以长度为测度，故④不正确．
故答案为：①③④．
| PA |
| PB |
| c |
| b |
| PA |
| PC |
| b-c |
| b |
| PA2 |
∴
| PA |
| PB |
| PA2 |
| c |
| b |
| PA |
| PC |
| PA2 |
∴
| PA |
| AB |
| c |
| b |
| PA |
| AC |
∴|
| PA |
| c |
| b |
| PA |
∴∠PAB=∠PAC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∵QA=QB=QC，
∴Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，
∵∠BAC=90°，△ABC是不等边三角形，
∴点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上不正确；
∵QA=QP，∴P为
|
| BC |
∵OP是QP在平面ABC上的射影，∴QP⊥BC，
∴
| QP |
| PB |
| QP |
| PC |
③QA＞QP，则P在圆内，∠BAC=90°，则BC为直径，若
| BP |
| CP |
| AB |
| AC |
④若QA＞QP，∵AP是∠BAC的平分线，所以P在△ABC内部的概率应该以长度为测度，故④不正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查向量知识的运用，考查命题真假的判断，综合性强，难度大．
练习册系列答案
相关题目
过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，
过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，
过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，
过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，