Question

设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A(－1，0)，B(1，0)且MG//AB.

(Ⅰ) 求三角形ABC顶点C的轨迹方程；

(Ⅱ) 设顶点C的轨迹为D，已知直线过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，

满足OP⊥ON，求直线的方程.

Answer 1

【解析】：（I）设C（x，y）（xy≠0）                                                     …………1分

       ∵MG∥AB，可设G（a ,b），则M（0，b）.                                     

∴                                     (1)                                      …………3分

∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，

即                   （2）                                 …………4分

由（1）（2）得.

所以三角形顶点C的轨迹方程为.                 …………6分

（II）设直线l的方程为，，，

       由消y得。                             …………8分

∵直线l与曲线D交于P、N两点，∴△=，

又，。

∵，∴，∴   …………6分

∴，∴。                 …………11分

∴直线l的方程为。                                                    …………12分