Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率等于（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  5 +1

  2

• C．

  5 -1

  2

• D．

  3- 5

  2

Answer 1

分析：根据题意，由四边形ABCD的性质，分析可得其内切圆的半径的大小，又有其内切圆内切圆恰好过椭圆的焦点，即c=r，结合a²=b²+c²，计算可得答案．

解答：解：根据题意，得四边形ABCD为平行四边形，则其内切圆的圆心为坐标原点；
四边形ABCD的内切圆半径为Rt△AOB中，斜边AB上的高，
根据题意，易得，AO=a，OB=b；
则r=

ab

a2+b2

；
根据题意，其内切圆恰好过椭圆的焦点，
即c=r=

ab

a2+b2

；
又由a²=b²+c²；
联立可得：e=

c

a

=

5 -1

2

；
故选C．

点评：本小题主要考查椭圆的性质、平行四边形的有关性质、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．