题目内容

设等比数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,公比q=
λ
1+λ
(λ≠-1且λ≠0).
(1)证明:Sn=(1+λ)-λan
(2)设函数f(x)满足f(1)=
1
6
f(x)+f(1-x)=
1
2
,设Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)
,求Tn关于n的表达式及
lim
n→∞
Tn
n
的值.
分析:(1)由已可求,an=(
λ
1+λ
)n-1
,利用等比数列的求和公式可求
(2)由已知,Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…f(
n-1
n
)+f(1)
f(1)=
1
6
f(x)+f(1-x)=
1
2
,利用倒序相加可求Tn,代入可求极限
解答:解:(1)由已知q≠0且q≠1,所以an=(
λ
1+λ
)n-1
(n∈N*),…(1分)
所以Sn=
a1(1-qn)
1-q
=
1-(
λ
1+λ
)
n
1-
λ
1+λ
=(1+λ)[1-(
λ
1+λ
)
n
]=(1+λ)-λ(
λ
1+λ
)n-1
,(5分)
即Sn=(1+λ)-λan.…(6分)
(2)由已知,Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…f(
n-1
n
)+f(1)

Tn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…f(
2
n
)+f(
1
n
)+f(1)
②…(8分)
因为f(1)=
1
6
f(x)+f(1-x)=
1
2
,将①、②两式相加,得,2Tn=(n-1)•
1
2
+
1
3
=
3n-1
6
.…(11分)
所以Tn=
3n-1
12
.…(12分)
所以
lim
n→∞
Tn
n
=
lim
n→∞
3n-1
12n
=
1
4
.…(14分)
点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用,数列求和的倒序求和方法的应用,数列极限的求解,解题的关键是要知道倒序求和适用的试题类型
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网