Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，满足关系S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

1

(log2an)2

，求证：对任意正整数n，总有T_n＜2；
（Ⅲ）在正数数列{c_n}中，设(cn)n+1=

n+1

2n+1

an+1(n∈N*)，求数列{lnc_n}中的最大项

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），知S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*），所以a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*），由此可知a_n=2ⁿ．（n∈N^*）．
（Ⅱ）对任意正整数n，总有bn=

1

(log2an)2

=

1

n2

.由此可知Tn=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

≤1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

＜2．
（Ⅲ）由（c_n）ⁿ⁺¹=

n+1

2n+1

a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=

ln(n-1)

n+1

令f(x)=

lnx

x

，则f′(x)=

1 x •x-1nx

x2

=

1-lnx

x2

.再由函数的单调性可求出数列{lnc_n}中的最大项

解答：（Ⅰ）解：∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），①∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*）②（1分）
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*）∵a_n≠0，∴

an

an-1

=2.（n≥2，n∈N^*）
即数列{a_n}是等比数列．（3分）∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2．∴a_n=2ⁿ．（n∈N^*）（5分）
（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有bn=

1

(log2an)2

=

1

n2

.（6分）
∴Tn=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

≤1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

＜2（9分）
（Ⅲ）解：由（c_n）ⁿ⁺¹=

n+1

2n+1

a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=

ln(n-1)

n+1

令f(x)=

lnx

x

，则f′(x)=

1 x •x-1nx

x2

=

1-lnx

x2

.
∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．
在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）
∴n≥2且n∈N^*时，|lnc_n|是递减数列．
又lnc1＜lnc2，∴数列|lncn|中的最大项为lnc2=

1

3

ln3.（14分）

点评：本题考查数列知识的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件．