Question

如图，B是△PAC的边AC上一点，且AB=2BC=4，∠APB=90°，∠CPB=30°，则

PA

•

PC

=

-6

．

Answer 1

分析：设PB长为x，在△PBC中利用正弦定理，算出

|PC|

=

3

x．再在△PBC中算出sinC关于x的式子，利用正弦定理建立关于x的方程，解出x的值，从而得到向量

PA

、

PC

的长度，结合数量积的计算公式，得到所求的结果．

解答：解：设

|PB|

=x，
则Rt△PAB中，

|PA|

=

16-x2

，sinA=

|PB|

|AB|

=

x

4

∵△PBC中，

AC

sin120°

=

PC

sinA

∴

|PC|

=

3

x
sin∠PBC=sin∠PBA=cosA=

16-x2

4

，cos∠PBC=-cos∠PBA=-sinA=-

x

4

∴sinC=sin（∠PBC+∠BPC）=

16-x2

4

cos30°+（-

x

4

）sin30°=

48-3x2 -x

8

在△PBC中，

PB

sinC

=

BC

sin∠CPB

，即

x

48-3x2 -x 8

=

2

sin30°

解之得：x=2，所以

|PA|

=

16-22

=2

3

，

|PC|

=

3

x=2

3

∴

PA

•

PC

=

|PA|

•

|PC|

cos120°=2

3

•2

3

•（-

1

2

）=-6
故答案为：-6

点评：本题在特殊三角形中求向量的数量积，着重考查了正弦定理解三角形和向量数量积的运算等知识，属于基础题．