Question

已知数列{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，对于一切n∈N^*均有a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.

（1）计算a₁,a₂,a₃,并由此猜想{a_n}的通项公式a_n；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.

Answer 1

思路分析：通过计算a₁,a₂,a₃,探索a_n与n的关系，猜想a_n的通项，并运用数学归纳法证明.

（1）解：由得S_n=可求得a₁=2，a₂=6,a₃=10,

由此猜想{a_n}的通项公式a_n=4n-2(n∈N₊).

（2）证明：(Ⅰ)当n=1时，a₁=2，等式成立；

(Ⅱ)假设当n=k时，等式成立，即a_k=4k-2,

∴a_k+1=S_k+1-S_k=,

∴(a_k+1+a_k)(a_k+1-a_k-4)=0.

又a_k+1+a_k≠0,

∴a_k+1-a₄-4=0,

∴a_k+1=a_k+4=4k-2+4=4(k+1)-2,

∴当n=k+1时,等式也成立.

由(Ⅰ)(Ⅱ)可得a_n=4n-2(n∈N₊)成立.