Question

已知递增等差数列{a_n}满足：a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若不等式（1-）•（1-）…（1-）≤对任意n∈N⁺，试猜想出实数m小值，并证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）设数列{a_n}公差为d（d＞0），由a₁，a₂，a₄成等比数列可求得d，从而可求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由（1）得a_n=n，可将原不等式转化为••…≤，利用n=1与n=2即可猜想m的最小值为，利用数学归纳法证明即可．
解答：解：（1）设数列{a_n}公差为d（d＞0），
由题意可知a₁•a₄=，即1（1+3d）=（1+d）²，
解得d=1或d=0（舍去）．
所以，a_n=1+（n-1）•1=n．
（2）不等式等价于••…≤，
当n=1时，m≥；当n=2时，m≥；
而＞，所以猜想，m的最小值为．
下证不等式••…≤对任意n∈N^*恒成立．
下面用数学归纳法证明．
证明：1°当n=1时，≤=，成立．
2°假设当n=k时，不等式，••…≤成立，
当n=k+1时，••…•≤•，
只要证•≤，
只要证≤，
只要证-≤2k+2，
只要证4k²+8k+3≤4k²+8k+4，
只要证3≤4，显然成立．
所以，对任意n∈N^*，不等式••…≤恒成立．
点评：本题考查数学归纳法，考查等差数列的通项公式，考查猜想与推理证明的能力，猜想出m的值是关键，也是难点，属于难题．