Question

【题目】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（2）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取FC中点Q，连结GQ、QH，

∵G、H为EC、FB的中点，

∴GQ ，QH ，

又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，

∴平面GQH∥平面ABC，

∵GH面GQH，∴GH∥平面ABC．

（2）解：∵AB=BC，∴BO⊥AC，

又∵OO′⊥面ABC，

∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（ ，0，0），C（﹣2 ，0，0），B（0，2 ，0），O′（0，0，3），F（0， ，3），

=（﹣2 ，﹣ ，﹣3）， =（2 ，2 ，0），

由题意可知面ABC的法向量为 =（0，0，3），

设 =（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，

则 ，即 ，

取x0=1，则 =（1，﹣1，﹣ ），

∴cos＜ ， ＞= =﹣ ．

∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，

∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为 ．

【解析】（1）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（2）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．