Question

【题目】已知以T=4为周期的函数f（x）= ，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+ =1（y≥0），
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由图易知直线 y= 与第二个椭圆（x﹣4）2+ =1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x﹣8）2+ =1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y= 代入（x﹣4）2+ =1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），
则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得 m ，
同样由 y= 与第三个椭圆（x﹣8）2+ =1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜ ，
综上可知m∈（ ， ）
所以答案是：（ ， ）