题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,有两个圆和
,其中
,
为正常数,满足
或
,一个动圆
与两圆都相切,则动圆圆心的轨迹方程可以是( )
A.两个椭圆B.两个双曲线
C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线
【答案】BCD
【解析】
根据题意可知当,即两圆外离时, 当
,两圆相交,再分情况讨论动圆这两个圆相切的类型求轨迹即可.
根据题意圆,半径
,圆
,半径
,所以
,设圆
的半径为
,
(1)当,即两圆外离时,动圆
可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切,
①均内切时,
,此时
,
当时,此时
点的轨迹是以
,
为焦点的双曲线,
当时,此时点
在
,
的垂直平分线上.
②均外切时,
,此时
,此时
点的轨迹是与①相同.
③与一个内切与一个外切时,不妨设与圆内切,与圆
外切,
,
,
与圆内切,与圆
外切时,同理得,
此时点的轨迹是以
,
为焦点的双曲线,与①中双曲线不一样.
(2)当,两圆相交,动圆
可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切,
④均内切时轨迹和①相同.
⑤均外切时轨迹和①相同
⑥与一个内切另一个外切时,不妨设与圆内切,与圆
外切,
,
,
,此时点
的轨迹是以
,
为焦点的椭圆.
与圆内切,与圆
外切时,同理得
,
此时点的轨迹是以
,
为焦点的椭圆.
故选:BCD
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