题目内容
【题目】如图，四棱锥
，
，
，
，
为等边三角形，平面
平面
，
为
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明
及
，即可证明：
平面
，问题得证。
（2）建立空间直角坐标系，由（1）得
为平面的法向量，求得平面
的法向量为
，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角
的余弦值.
（1）证明：因为
，
，
所以
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
所以
平面
.
又
平面，所以，
因为
为
中点，且
为等边三角形，所以.
又
，所以平面.
（2）取
中点为
，连接
，因为为等边三角形，所以
，
因为平面平面，所以
平面，
所以
，由
，
，
可知
，所以
.
以中点为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.
所以
，
，
，
，
，
所以
，
，
由（1）知，
为平面的法向量，
因为为的中点，
所以
，
所以，
设平面的法向量为
，
由
，得
，
取
，则.
所以
.
因为二面角为钝角，
所以，二面角的余弦值为.
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