题目内容

11.设函数f(x)=2lnx+$\frac{1}{x}$.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)如果对所有的x≥1,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.

分析 (Ⅰ)先求导,利用导数和函数单调性的关系即可求出;
(Ⅱ)分离参数,a≥$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$,构造函数h(x)=$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$,求导,再构造函数m(x)=x-xlnx-1,利用导数求出函数的最大值,问题得以解决.

解答 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$,
当0<x<$\frac{1}{2}$时,f′(x)<0,
当x>$\frac{1}{2}$时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在(0,$\frac{1}{2}$)上单调递减,在($\frac{1}{2}$,+∞)单调递增.
(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≤ax?a≥$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$,
令h(x)=$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$,(x≥1),
则h′(x)=$\frac{2-2lnx}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{2(x-xlnx-1)}{{x}^{3}}$,
令m(x)=x-xlnx-1,(x≥1),
则m′(x)=-lnx,
当x≥1时,m′(x)≤0,
于是m(x)在[1,+∞)上为减函数,
从而m(x)≤m(1)=0,因此h′(x)≤0,
于是h(x)在[1,+∞)上为减函数,
所以当x=1时h(x)有最大值h(1)=1,
故a≥1,即a的取值范围是[1,+∞).

点评 本题考查函数的单调性的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用

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