Question

（本小题满分12分）已知在直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为

（t为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

（Ⅱ）是否存在实数，使得直线与曲线C有两个不同的公共点、，且

（其中o为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∵，∴可将曲线C的方程化为普通方程：．

①当时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； 

②当时，曲线C为中心在原点的椭圆．

（Ⅱ）不存在满足题意的实数． 

【解析】(I)先把方程化成,然后再根据t²与1的关系进行讨论.

（II）先求出直线l的普通方程为,然后再与曲线C的方程联立消y得关于x的一元二次方程，由于,所以再借助韦达定理及判断式来解此题.

解：（Ⅰ）∵，∴可将曲线C的方程化为普通方程：．

①当时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； 

②当时，曲线C为中心在原点的椭圆．………………5分

（Ⅱ）直线的普通方程为：．联立直线与曲线的方程，消得，

化简得．若直线与曲线C有两个不同的公共点，

 

，

解得．又 

故．

解得与相矛盾．  故不存在满足题意的实数． ………………12分