Question

已知：函数f(x)=

ex

x-a

（其中常数a＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（Ⅱ）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式f(x)≤

1

2

成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分式函数使分母不为零即{x|x≠a}，先求导数fˊ（x），然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；确定出单调区间．
（2）转化成f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值小于等于

1

2

，利用导数求出函数f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值，注意讨论．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}．（1分）
f′(x)=

ex(x-a)-ex•1

(x-a)2

=

ex[x-(a+1)]

(x-a)2

．（3分）
由f'（x）＞0，解得x＞a+1．
由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．
∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），
单调递减区间为（-∞，a），（a，a+1）；（6分）

（Ⅱ）由题意可知，a＜0，且f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值小于等于

1

2

时，
存在实数x∈（a，0]，使得不等式f(x)≤

1

2

成立．（7分）
若a+1＜0即a＜-1时，

∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e^a+1．
则ea+1≤

1

2

，得a≤ln

1

2

-1．（10分）
若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，
则f（x）在（a，0]上的最小值为f(0)=-

1

a

．
由-

1

a

≤

1

2

得a≤-2（舍）．（12分）
综上所述，a≤ln

1

2

-1．则a的取值范围是（-∞，ln

1

2

-1]

点评：本题考查了函数的定义域、单调性以及利用导数求解恒成立问题，是高考中的热点问题．