题目内容

设函数f（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f（x）同时具备如下的两个性质：
①对于任意实数x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂， $数学公式$ 恒成立；
②对于任意实数x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂， $数学公式$ 恒成立．

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）， $\text{[math]}$ ，
依题意，f'（1）=1+2a-（3a+1）=0，解得a=0．
此时，f（x）=lnx-x+1， $\text{[math]}$ ．
因为x∈（0，+∞），令f'（x）＞0，可得x∈（0，1）；令f'（x）＜0，可得x∈（1，+∞）．
所以，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
因此，当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=0．
（Ⅱ）令 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由（Ⅰ）中的结论可知，lnx-x+1＜0对任意x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，即lnx＜x-1（*）恒成立．
（ⅰ）如果x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，则 $\text{[math]}$ ．
根据（*）可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
若f（x）满足性质①，则 $\text{[math]}$ 恒成立，
于是 $\text{[math]}$ 对任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂恒成立，所以 $\text{[math]}$ ．
（ⅱ）如果x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，则 $\text{[math]}$ ．
根据（*）可得 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ，
则F（x₁，x₂）＜ $\text{[math]}$ ．若f（x）满足性质②，则 $\text{[math]}$ 恒成立．
于是 $\text{[math]}$ 对任意x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂恒成立，所以a $\text{[math]}$ ．
综合（ⅰ）（ⅱ）可得，a= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）先求函数的定义域、导数f′（x），由题意f'（1）=0，解出可得a值，在定义域内解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，可得f（x）的单调性，根据单调性可得其最大值；
（Ⅱ）令 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由（Ⅰ）中的结论可得对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），lnx＜x-1（*）恒成立．（ⅰ）如果x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，则 $\text{[math]}$ ．根据（*）可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．由性质①转化为恒成立问题，可得a的范围；（ⅱ）如果x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，则 $\text{[math]}$ ．再根据（*）进行放缩，由性质②可得恒成立问题，由此可得a的范围，综合（i）（ii）可得a的范围；
点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值问题，考查恒成立问题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，解决（Ⅱ）问的关键是借助（Ⅰ）中的结论得到恰当不等式．