Question

3．数列{a_n}满足a₁=2，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
①设b_n=a_n+1-a_n，证明{b_n}是等差数列；
②求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 ①把原数列递推式变形，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即b_n+1-b_n=2．再由已知求得b₁=a₂-a₁=0，可得{b_n}是以0为首项，以2为公差的等差数列；
②由①中的等差数列求出{b_n}的通项公式，代入b_n=a_n+1-a_n，利用累加法求得{a_n}的通项公式．

解答 解：①由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，得
（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
由b_n=a_n+1-a_n，得b_n+1-b_n=2．
又a₁=2，a₂=2，∴b₁=a₂-a₁=0，
∴{b_n}是以0为首项，以2为公差的等差数列；
②由①得b_n=0+2（n-1）=2n-2，
∴a_n+1-a_n=2n-2．
则a₂-a₁=2×1-2，
a₃-a₂=2×2-2，
a₄-a₃=2×3-2，
…
a_n-a_n-1=2（n-1）-2（n≥2）．
累加得：a_n-a₁=2[1+2+…+（n-1）]-2（n-1），
∴${a}_{n}=2+2×\frac{n（n-1）}{2}-2（n-1）={n}^{2}-3n+4$．
验证a₁=2适合上式，
∴${a_n}={n^2}-3n+4$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．