题目内容
（2007•浦东新区一模）已知复数z满足z=（-1+3i）（1-i）-4．
（1）求复数z的共轭复数
；
（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．
（1）求复数z的共轭复数
. | z |
（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．
分析：（1）利用i2=-1对z进行化简，并整理出实部和虚部，再由由共轭复数的定义求出；
（2）根据（1）求出的结果和复数模的公式求出|z|，再结合条件表示出|w|，根据题意列出关于a的不等式，利用二次不等式的解法求出a的范围．
（2）根据（1）求出的结果和复数模的公式求出|z|，再结合条件表示出|w|，根据题意列出关于a的不等式，利用二次不等式的解法求出a的范围．
解答：解：（1）∵z=（-1+3i）（1-i）-4=-1+i+3i+3-4=-2+4i，
∴
=-2-4i
（2）由（1）知z=-2+4i，∴|z|=2
，
∵w=-2+（4+a）i，∴|w|=
=
∵|w|≤|z|，∴20+8a+a2≤20，∴a2+8a≤0，∴a（a+8）≤0，
∴实数a的取值范围是：-8≤a≤0．
∴
. |
| z |
（2）由（1）知z=-2+4i，∴|z|=2
| 5 |
∵w=-2+（4+a）i，∴|w|=
| 4+(4+a)2 |
| 20+8a+a2 |
∵|w|≤|z|，∴20+8a+a2≤20，∴a2+8a≤0，∴a（a+8）≤0，
∴实数a的取值范围是：-8≤a≤0．
点评：本题是有关复数的综合题，考查了共轭复数的定义，复数模的公式的应用，以及二次不等式的解法．
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