题目内容

(2012•武昌区模拟)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的离心率为
1
2
,两焦点之间的距离为4.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A、B两点,
(1)求证:OA⊥OB;
(2)设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E,过原点O作直线DE的垂线OM,垂足为M,证明|OM|为定值.
分析:(I)利用椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的离心率为
1
2
,两焦点之间的距离为4,即可确定椭圆的标准方程;
(Ⅱ)(1)设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x=my+4,代入抛物线方程y2=4x,得y2-4my-16=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),再验证x1x2+y1y2=0即可;
(2)设D(x3,y3)、E(x4,y4),直线DE的方程为x=ty+λ,代入
x2
16
+
y2
12
=1
,得(3t2+4)y2+6tλy+3λ2-48=0.
根据OD⊥OE,可得x3x4+y3y4=0,从而可得7λ2=48(t2+1),即可计算原点到直线DE的距离为定值.
解答:解:(Ⅰ)由
2c=4
c
a
=
1
2
a=4
c=2

故b2=a2-c2=12.
所以,所求椭圆的标准方程为
x2
16
+
y2
12
=1

(Ⅱ)(1)设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x=my+4.
代入抛物线方程y2=4x,得y2-4my-16=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),则
y1+y2=4m
y1y2=-16.

∴x1x2+y1y2=(my1+4)(my2+4)+y1y2=(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+16=0.
∴OA⊥OB.
(2)设D(x3,y3)、E(x4,y4),直线DE的方程为x=ty+λ,代入
x2
16
+
y2
12
=1
,得(3t2+4)y2+6tλy+3λ2-48=0.
于是y3+y4=-
6tλ
3t2+4
y3y4=
3λ2-48
3t2+4

从而x3x4=(ty3+λ)(ty4+λ)=
4λ2-48t2
3t2+4

∵OD⊥OE,
∴x3x4+y3y4=0.
代入,整理得7λ2=48(t2+1).
∴原点到直线DE的距离d=
|λ|
1+t2
=
4
21
7
为定值.
点评:本题重点考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的、抛物线的位置关系,解题的关键是联立方程,利用韦达定理求解.
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