Question

20．f（x）=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$在[-2m+3，-m+2]（m＞1）上的最小值是-$\frac{9}{4}$时．求m的值．

Answer 1

分析 求得二次函数的对称轴和顶点，由二次函数在闭区间上的最值情况，可令端点处的值为最小值，解方程可得m的值，再加以检验即可得到所求．

解答 解：f（x）=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$
=$\frac{3}{4}$（x²+2x-3）=$\frac{3}{4}$[（x+1）²-4]，
对称轴为x=-1，f（-1）=-3，
由题意可得最小值可能f（2-m）=-$\frac{9}{4}$
或f（3-2m）=-$\frac{9}{4}$，
即有$\frac{3}{4}$[（3-m）²-4]=-$\frac{9}{4}$，或$\frac{3}{4}$[（4-2m）²-4]=-$\frac{9}{4}$，
解得m=2或4或$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．
当m=2时，区间为[-1，0]，在对称轴的右边为增区间，
即有f（-1）最小，且为-3，不成立；
当m=4时，区间为[-5，-2]，在对称轴的左边为减区间，
即有f（-2）最小，且为-$\frac{9}{4}$成立；
当m=$\frac{3}{2}$时，区间为[0，$\frac{1}{2}$]，为增区间，f（0）最小，且为-3，不成立；
当m=$\frac{5}{2}$时，区间为[-2，-$\frac{1}{2}$]，且-1∈[-2，-$\frac{1}{2}$]，f（-1）最小，且为-3，不成立．
综上可得，m=4．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用最值取得的情况，求解参数的值，再检验，有时很有效，值得重视．