题目内容
【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,且过点M(4,1). (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=x+m(m≠﹣3)与椭圆C交于P,Q两点,记直线MP,MQ的斜率分别为k1 , k2 , 试探究k1+k2是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,e= =
=
,则a2=4b2 , 由椭圆过点M(4,1),代入椭圆方程:
,解得:b2=5,a2=20,
∴椭圆的标准方程: ;
(Ⅱ)k1+k2为定值0,下面给出证明,
设P(x1 , y1),P(x2 , y2),
则 ,整理得:5x2+8mx+2m2﹣20=0,
△=(8m)2﹣4×5×(2m2﹣20)>0,解得:﹣5<m<5,且m≠﹣3,
则x1+x2=﹣ ,x1x2=
,
则k1+k2= +
=
,
则(y1﹣1)(x2﹣4)+(y2﹣1)(x1﹣4)=(x1+m﹣1)(x2﹣4)+(x2+m﹣1)(x1﹣4),
=2x1x2+(m﹣5)(x1+x2)﹣8(m﹣1),
=2× +(m﹣5)(﹣
)﹣8(m﹣1),
=0,
∴k1+k2=0,
∴k1+k2为定值0
【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式,求得a2=4b2 , 将M代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)将直线l:代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,即可取得k1+k2=0.

【题目】随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查50人,并将调查情况进行整理后制成如表:
年龄(岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,60) |
频数 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
赞成人数 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
(1)世界联合国卫生组织规定:[15,45)岁为青年,(45,60)为中年,根据以上统计数据填写以下2×2列联表:
青年人 | 中年人 | 合计 | |
不赞成 |
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|
|
赞成 |
|
|
|
合计 |
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(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为赞成“车柄限行”与年龄有关? 附: ,其中n=a+b+c+d
独立检验临界值表:
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(3)若从年龄[15,25),[25,35)的被调查中各随机选取1人进行调查,设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.