题目内容

【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,且过点M(4,1). (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=x+m(m≠﹣3)与椭圆C交于P,Q两点,记直线MP,MQ的斜率分别为k1 , k2 , 试探究k1+k2是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)依题意,e= = = ,则a2=4b2 , 由椭圆过点M(4,1),代入椭圆方程: ,解得:b2=5,a2=20,
∴椭圆的标准方程:
(Ⅱ)k1+k2为定值0,下面给出证明,
设P(x1 , y1),P(x2 , y2),
,整理得:5x2+8mx+2m2﹣20=0,
△=(8m)2﹣4×5×(2m2﹣20)>0,解得:﹣5<m<5,且m≠﹣3,
则x1+x2=﹣ ,x1x2=
则k1+k2= + =
则(y1﹣1)(x2﹣4)+(y2﹣1)(x1﹣4)=(x1+m﹣1)(x2﹣4)+(x2+m﹣1)(x1﹣4),
=2x1x2+(m﹣5)(x1+x2)﹣8(m﹣1),
=2× +(m﹣5)(﹣ )﹣8(m﹣1),
=0,
∴k1+k2=0,
∴k1+k2为定值0
【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式,求得a2=4b2 , 将M代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)将直线l:代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,即可取得k1+k2=0.

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