题目内容

(2012•太原模拟)设函数f(x)=a(x+
1
x
)+2lnx,g(x)=x2

(1)若a=
1
2
时,直线l与函数f(x)和函数g(x)的图象相切于同一点,求切线l的方程;
(2)若f(x)在[2,4]内为单调函数,求实数a的取值范围.
说明:请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.
分析:(1)由f(x)求出其导函数,把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率,两次求出的斜率相等列出关于切点的横坐标x的方程,求出切点的坐标,根据得出的切点坐标,同时由f(x)求出其导函数,把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率,根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可.
(2)通过解f′(x),求其单调区间,转化为恒成立问题求a的取值范围.
解答:解:(1)若a=
1
2
时,
f′(x)=
1
2
(1-
1
x2
)+
2
x
=
x2+4x-1
2x2
,g'(x)=2x
因为直线l与函数f(x)、g(x)的图象相切于同一点,
从而有:
x2+4x-1
2x2
=2x(4分)
解得x=1,x=
1
4
,(x=-1不在定义域内,故舍去)
又f'(1)=2,f(1)=1,
f′(
1
4
)=
1
2
f(
1
4
)=
 1
16

g'(1)=2,g(1)=1;
g′(
1
4
)=
1
2
g(
1
4
)=
1
16

①当x=1时,则l的方程为:y=2x-1
②当x=
1
4
时,又因为点(
1
4
1
16
)
也在f(x)的图象上,
所以l的方程为y=
1
2
x-
1
16

综上所述直线l的方程为y=2x-1或y=
1
2
x-
1
16

(2)∵f′(x)=a(1-
1
x2
)+
2
x
=
ax2+2x-a
x2

要使f(x)在[2,4]为单调增函数,则f′(x)≥0在[2,4]恒成立,
ax2+2x-a
x2
≥0在[2,4]恒成立,即ax2+2x-a≥0在[2,4]恒成立,
又a(x2-1)≥-2x即a≥
2x
1-x2
=
2
1
x
-x
(2≤x≤4)(8分)
u(x)=
1
x
-x
(2≤x≤4),
因为u′(x)=-
1
x2
-1
<0(x>0),
所以u(x)在(0,+∞)上单调递减.
∴当2≤x≤4时,
2
1
x
-x
∈[-
4
3
,-
8
15
]
所以要使a≥
2x
1-x2
=
2
1
x
-x
(2≤x≤4),
只须当a≥-
8
15
时即可,(10分)
同理要为f(x)单调减函数,则f′(x)≤0在[2,4]恒成立,
易得a≤-
4
3

综上,f(x)在[2,4]为单调函数,
则a的取值范围为a≤-
4
3
a≥-
8
15
(12分).
点评:对于已知函数单调性,求参数范围问题的常见解法;设函数f(x)在(a,b)上可导,若f(x)在(a,b)上是增函数,则可得f′(x)≥0,从而建立了关于待求参数的不等式,同理,若f(x)在(a,b)上是减函数,,则可得f′(x)≤0.
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