Question

已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，其图象经过点M（

π

3

，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若tanα=3，且函数g（x）=f（x+α）+f（x+α-

π

2

）（x∈R）的图象关于直线x=x₀对称，求tanx₀的值．

Answer 1

分析：（1）根据最大值为2，确定A=2，根据过M，求出φ，进而确定f（x）的解析式．
（2）写出g（x）的解析式，根据其图象关于直线x=x₀对称，求出x₀，进而求出tanx₀即可．

解答：解：（1）∵函f（x）的最大值是2，
∴A=2，又函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象经过点M（

π

3

，1），
∴2sin（

π

3

+φ）=1，
即sin（

π

3

+φ）=

1

2

，
∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

2

，
∴f（x）=2sin（x+

π

2

）=2cosx…（5分）
（2）g（x）=f（x+α）+f（x+α-

π

2

）
=2cos（x+α）+2cos（x+α-

π

2

）
=2cos（x+α）+2sin（x+α）
=2

2

sin（x+α+

π

4

），
∵其图象关于直x=x₀对称，
∴sin（x₀+α+

π

4

）=±1，
∴x₀+α+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），即 x₀=kπ-α+

π

4

，（k∈Z），
又∵tanα=3，
∴tanx₀=tan（kπ-α+

π

4

）=tan（

π

4

-α）=

1-tanα

1+tanα

=-

1

2

…（14分）

点评：本题考查了由三角函数图象确定函数解析式以及性质，是基础题．