Question

已知函数f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），令f′（1）=0即可解得；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，等价于f_max（x）=2+c＜c²，利用导数即可求得其最大值；
（3）由（2）问结论借助f（x）图象特征可知：要使曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，只需f_极小值（x）＞0或f_极大值（x）＜0．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x+b，
因为f（x）在x=1处取得极值，
所以f′（1）=0，即3-1+b=0，解得b=-2，
故b=-2．
（2）由（1）知f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
当x＜-

2

3

或x＞1时，f′（x）＞0，当-

2

3

＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以当x=-

2

3

时f（x）取得极大值，f（-

2

3

）=

22

27

+c，当x=1时f（x）取得极小值，f（1）=-

3

2

+c，
又f（-1）=

1

2

+c，f（2）=2+c，
所以当x∈[-1，2]时，f_max（x）=2+c，f_min（x）=-

3

2

+c，
当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，等价于f_max（x）=2+c＜c²，解得c＞2或c＜-1．
故实数c的取值范围为：c＞2或c＜-1．
（3）由（2）知：当x=-

2

3

时f（x）取得极大值，f（-

2

3

）=

22

27

+c，当x=1时f（x）取得极小值，f（1）=-

3

2

+c，
根据f（x）图象大致形状可知，要使曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，只需f（-

2

3

）=

22

27

+c＜0，或f（1）=-

3

2

+c＞0，
解得c＜-

22

27

或c＞

3

2

．
故当c＜-

22

27

或c＞

3

2

时y=f（x）与x轴仅有一个交点．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、函数恒成立及函数零点问题，考查数形结合思想，考查学生对问题的理解转化能力．