题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex+e﹣x , 其中e是自然对数的底数.
(1)证明:f(x)是R上的偶函数;
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,试比较ea﹣1与ae﹣1的大小,并证明你的结论.
【答案】
(1)证明:∵f(x)=ex+e﹣x,
∴f(﹣x)=e﹣x+ex=f(x),即函数:f(x)是R上的偶函数
(2)解:若关于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,
即m(ex+e﹣x﹣1)≤e﹣x﹣1,
∵x>0,
∴ex+e﹣x﹣1>0,
即m≤ 在(0,+∞)上恒成立,
设t=ex,(t>1),则m≤ 在(1,+∞)上恒成立,
∵ =﹣ =﹣ ,当且仅当t=2时等号成立,
∴m
(3)解:令g(x)=ex+e﹣x﹣a(﹣x3+3x),
则g′(x)=ex﹣e﹣x+3a(x2﹣1),
当x>1,g′(x)>0,即函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,
故此时g(x)的最小值g(1)=e+ ﹣2a,
由于存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,
故e+ ﹣2a<0,
即a> (e+ ),
令h(x)=x﹣(e﹣1)lnx﹣1,
则h′(x)=1﹣ ,
由h′(x)=1﹣ =0,解得x=e﹣1,
当0<x<e﹣1时,h′(x)<0,此时函数单调递减,
当x>e﹣1时,h′(x)>0,此时函数单调递增,
∴h(x)在(0,+∞)上的最小值为h(e﹣1),
注意到h(1)=h(e)=0,
∴当x∈(1,e﹣1)(0,e﹣1)时,h(e﹣1)≤h(x)<h(1)=0,
当x∈(e﹣1,e)(e﹣1,+∞)时,h(x)<h(e)=0,
∴h(x)<0,对任意的x∈(1,e)成立.
①a∈( (e+ ),e)(1,e)时,h(a)<0,即a﹣1<(e﹣1)lna,从而ea﹣1<ae﹣1,
②当a=e时,ae﹣1=ea﹣1,
③当a∈(e,+∞)(e﹣1,+∞)时,当a>e﹣1时,h(a)>h(e)=0,即a﹣1>(e﹣1)lna,从而ea﹣1>ae﹣1
【解析】(1)根据函数奇偶性的定义即可证明f(x)是R上的偶函数;(2)利用参数分离法,将不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围;(3)构u造函数,利用函数的单调性,最值与单调性之间的关系,分别进行讨论即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
【题目】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩 | 不及格 | 及格 | 总计 |
男 | 6 | 14 | 20 |
女 | 10 | 22 | 32 |
总计 | 16 | 36 | 52 |
表2
视力 | 好 | 差 | 总计 |
男 | 4 | 16 | 20 |
女 | 12 | 20 | 32 |
总计 | 16 | 36 | 52 |
表3
智商 | 偏高 | 正常 | 总计 |
男 | 8 | 12 | 20 |
女 | 8 | 24 | 32 |
总计 | 16 | 36 | 52 |
表4
阅读量 | 丰富 | 不丰富 | 总计 |
男 | 14 | 6 | 20 |
女 | 2 | 30 | 32 |
总计 | 16 | 36 | 52 |
A.成绩
B.视力
C.智商
D.阅读量