Question

【题目】已知函数f（x）=ex+e﹣x ， 其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x）=ex+e﹣x，

∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数

（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，

即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，

∵x＞0，

∴ex+e﹣x﹣1＞0，

即m≤ 在（0，+∞）上恒成立，

设t=ex，（t＞1），则m≤ 在（1，+∞）上恒成立，

∵ =﹣ =﹣ ，当且仅当t=2时等号成立，

∴m

（3）解：令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），

则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），

当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，

故此时g（x）的最小值g（1）=e+ ﹣2a，

由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，

故e+ ﹣2a＜0，

即a＞ （e+ ），

令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，

则h′（x）=1﹣ ，

由h′（x）=1﹣ =0，解得x=e﹣1，

当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，

当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，

∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），

注意到h（1）=h（e）=0，

∴当x∈（1，e﹣1）（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，

当x∈（e﹣1，e）（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，

∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．

①a∈（ （e+ ），e）（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，

②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，

③当a∈（e，+∞）（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．