题目内容

【题目】已知函数f(x)=ex+ex , 其中e是自然对数的底数.
(1)证明:f(x)是R上的偶函数;
(2)若关于x的不等式mf(x)≤ex+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,试比较ea1与ae1的大小,并证明你的结论.

【答案】
(1)证明:∵f(x)=ex+ex

∴f(﹣x)=ex+ex=f(x),即函数:f(x)是R上的偶函数


(2)解:若关于x的不等式mf(x)≤ex+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,

即m(ex+ex﹣1)≤ex﹣1,

∵x>0,

∴ex+ex﹣1>0,

即m≤ 在(0,+∞)上恒成立,

设t=ex,(t>1),则m≤ 在(1,+∞)上恒成立,

=﹣ =﹣ ,当且仅当t=2时等号成立,

∴m


(3)解:令g(x)=ex+ex﹣a(﹣x3+3x),

则g′(x)=ex﹣ex+3a(x2﹣1),

当x>1,g′(x)>0,即函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,

故此时g(x)的最小值g(1)=e+ ﹣2a,

由于存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,

故e+ ﹣2a<0,

即a> (e+ ),

令h(x)=x﹣(e﹣1)lnx﹣1,

则h′(x)=1﹣

由h′(x)=1﹣ =0,解得x=e﹣1,

当0<x<e﹣1时,h′(x)<0,此时函数单调递减,

当x>e﹣1时,h′(x)>0,此时函数单调递增,

∴h(x)在(0,+∞)上的最小值为h(e﹣1),

注意到h(1)=h(e)=0,

∴当x∈(1,e﹣1)(0,e﹣1)时,h(e﹣1)≤h(x)<h(1)=0,

当x∈(e﹣1,e)(e﹣1,+∞)时,h(x)<h(e)=0,

∴h(x)<0,对任意的x∈(1,e)成立.

①a∈( (e+ ),e)(1,e)时,h(a)<0,即a﹣1<(e﹣1)lna,从而ea1<ae1

②当a=e时,ae1=ea1

③当a∈(e,+∞)(e﹣1,+∞)时,当a>e﹣1时,h(a)>h(e)=0,即a﹣1>(e﹣1)lna,从而ea1>ae1


【解析】(1)根据函数奇偶性的定义即可证明f(x)是R上的偶函数;(2)利用参数分离法,将不等式mf(x)≤ex+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围;(3)构u造函数,利用函数的单调性,最值与单调性之间的关系,分别进行讨论即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.

涓€棰樹竴棰樻壘绛旀瑙f瀽澶參浜�
涓嬭浇浣滀笟绮剧伒鐩存帴鏌ョ湅鏁翠功绛旀瑙f瀽
绔嬪嵆涓嬭浇
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网