题目内容

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n,在数列{bn}中,b1=1,它的第n项是数列{an}的第bn-1(n≥2)项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)是否存在常数t使数列{bn+1}为等比数列?若存在求出t的值,并求出数列{bn}的通项公式,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求证:
1
b1
1
b2
+ …+
1
bn
<2
分析:(Ⅰ)根据数列递推式,再写一式,两式相减,即可求得数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)先确定bn=abn-1=2bn-1+1(n≥2),从而可得bn+1=2(bn-1+1),由此可得结论及数列{bn}的通项公式;
(III)先证明
1
bn+1
1
2bn
,再求和,即可证得结论.
解答:(Ⅰ)解:由已知,n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1
n=1时,a1=S1=3,也满足上式
∴an=2n+1
(Ⅱ)解:由已知bn=abn-1=2bn-1+1(n≥2)
∴bn+1=2(bn-1+1)
∴{bn+1}是以2为首项,2为公比的等比数列
∴存在实数t=1使数列{bn+1}为等比数列,且bn+1=2n
∴bn=2n-1
(III)证明:∵bn+1-2bn=2n+1-1-2(2n-1)=1>0,∴bn+1>2bn
∵bn=2n-1≥1,∴
1
bn+1
1
2bn

∴Tn=
1
b1
1
b2
+ …+
1
bn
1
b1
1
2b1
+ …+
1
2bn-1
=
1
b1
+ 2(
1
b1
+ …+
1
bn-1
)

即Tn
1
b1
+ 2(Tn-
1
bn
)

∴Tn
2
b1
-
1
bn
=2-
1
2n-1
<2
点评:本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查不等式的证明,恰当放缩是关键.
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