题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n,在数列{bn}中,b1=1,它的第n项是数列{an}的第bn-1(n≥2)项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)是否存在常数t使数列{bn+1}为等比数列?若存在求出t的值,并求出数列{bn}的通项公式,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求证:
+
+ …+
<2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)是否存在常数t使数列{bn+1}为等比数列?若存在求出t的值,并求出数列{bn}的通项公式,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求证:
1 |
b1 |
1 |
b2 |
1 |
bn |
分析:(Ⅰ)根据数列递推式,再写一式,两式相减,即可求得数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)先确定bn=abn-1=2bn-1+1(n≥2),从而可得bn+1=2(bn-1+1),由此可得结论及数列{bn}的通项公式;
(III)先证明
<
,再求和,即可证得结论.
(Ⅱ)先确定bn=abn-1=2bn-1+1(n≥2),从而可得bn+1=2(bn-1+1),由此可得结论及数列{bn}的通项公式;
(III)先证明
1 |
bn+1 |
1 |
2bn |
解答:(Ⅰ)解:由已知,n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1
n=1时,a1=S1=3,也满足上式
∴an=2n+1
(Ⅱ)解:由已知bn=abn-1=2bn-1+1(n≥2)
∴bn+1=2(bn-1+1)
∴{bn+1}是以2为首项,2为公比的等比数列
∴存在实数t=1使数列{bn+1}为等比数列,且bn+1=2n,
∴bn=2n-1
(III)证明:∵bn+1-2bn=2n+1-1-2(2n-1)=1>0,∴bn+1>2bn,
∵bn=2n-1≥1,∴
<
∴Tn=
+
+ …+
<
+
+ …+
=
+ 2(
+ …+
)
即Tn<
+ 2(Tn-
)
∴Tn<
-
=2-
<2
n=1时,a1=S1=3,也满足上式
∴an=2n+1
(Ⅱ)解:由已知bn=abn-1=2bn-1+1(n≥2)
∴bn+1=2(bn-1+1)
∴{bn+1}是以2为首项,2为公比的等比数列
∴存在实数t=1使数列{bn+1}为等比数列,且bn+1=2n,
∴bn=2n-1
(III)证明:∵bn+1-2bn=2n+1-1-2(2n-1)=1>0,∴bn+1>2bn,
∵bn=2n-1≥1,∴
1 |
bn+1 |
1 |
2bn |
∴Tn=
1 |
b1 |
1 |
b2 |
1 |
bn |
1 |
b1 |
1 |
2b1 |
1 |
2bn-1 |
1 |
b1 |
1 |
b1 |
1 |
bn-1 |
即Tn<
1 |
b1 |
1 |
bn |
∴Tn<
2 |
b1 |
1 |
bn |
1 |
2n-1 |
点评:本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查不等式的证明,恰当放缩是关键.

练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,则a12+a14等于( )
A、16 | B、8 | C、4 | D、不确定 |