题目内容
已知函数f(x)=a(x-
)-lnx.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数g(x)=
,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.
1 |
x |
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数g(x)=
e |
x |
(Ⅰ)当a=1时,函数f(x)=x-
-lnx,
∴f(1)=1-1-ln1=0.f′(x)=1+
-
,
曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=1+1-1=1.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=x-1,
即y=x-1. …(4分)
(Ⅱ)f′(x)=a+
-
=
.
要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.
即:ax2-x+a≥0得:a≥
=
恒成立.
由于x+
≥2,
∴
≤
,
∴a≥
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,实数a的取值范围是[
,+∞).…(8分)
(III)∵g(x)=
在[1,e]上是减函数
∴x=e时,g(x)min=1,x=1时,g(x)max=e,即g(x)∈[1,e]
f'(x)=
令h(x)=ax2-x+a
当a≥
时,由(II)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<1
又g(x)=
在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e]
而f(x)max=f(e)=a(e-
) -lne,g(x)min=1,即)=a(e-
) -lne≥1
解得a≥
∴实数a的取值范围是[
,+∞)
1 |
x |
∴f(1)=1-1-ln1=0.f′(x)=1+
1 |
x2 |
1 |
x |
曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=1+1-1=1.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=x-1,
即y=x-1. …(4分)
(Ⅱ)f′(x)=a+
a |
x2 |
1 |
x |
ax2-x+a |
x2 |
要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.
即:ax2-x+a≥0得:a≥
x |
1+x2 |
1 | ||
x+
|
由于x+
1 |
x |
∴
1 | ||
x+
|
1 |
2 |
∴a≥
1 |
2 |
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,实数a的取值范围是[
1 |
2 |
(III)∵g(x)=
e |
x |
∴x=e时,g(x)min=1,x=1时,g(x)max=e,即g(x)∈[1,e]
f'(x)=
ax2-x+a |
x2 |
当a≥
1 |
2 |
又g(x)=
e |
x |
而f(x)max=f(e)=a(e-
1 |
e |
1 |
e |
解得a≥
2e |
e2-1 |
∴实数a的取值范围是[
2e |
e2-1 |
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=a-
,若f(x)为奇函数,则a=( )
1 |
2x+1 |
A、
| ||
B、2 | ||
C、
| ||
D、3 |