Question

（2013•惠州二模）已知圆C₁：x²+y²=2和圆C₂，直线l与C₁切于点M（1，1），圆C₂的圆心在射线2x-y=0（x≥0）上，且C₂经过坐标原点，如C₂被l截得弦长为4

3

．
（1）求直线l的方程；
（2）求圆C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）欲求切线的方程，关键是求出切线的斜率，由直线OM的斜率可得切线l的斜率，最后利用点斜式写出直线l的方程．
（2）先根据圆C₂的圆心在射线2x-y=0（x≥0）上，故设圆C₂的圆心（a，2a），（a＞0）．C₂经过坐标原点，可设圆C₂的方程设为：（x-a）²+（y-2a）²=5a²，利用数形结合求得C₂被l截得弦长建立关于a的方程，从而求得a值即得．

解答：解：（1）直线OM的斜率为：

1-0

1-0

=1，
∴切线l的斜率k=-1，
直线l的方程：y-1=-（x-1）
即x+y-2=0．即为直线l的方程．
（2）∵圆C₂的圆心在射线2x-y=0（x≥0）上
∴设圆C₂的圆心（a，2a），（a＞0）．
且C₂经过坐标原点，
∴圆C₂的方程设为：（x-a）²+（y-2a）²=5a²，
圆心（a，2a）到直线l的距离为：d=

|a+2a-2|

2

=

|3a-2|

2

∴C₂被l截得弦长为：2×

R2-d 2

=4

3

，
即

5a2 - (3a-2) 2 2

=2

3

⇒a=2或a=-14（负值舍去）
∴圆C₂的方程：（x-2）²+（y-4）²=20．

点评：本小题主要考查直线和圆的位置关系、直线和圆的方程的应用、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．