题目内容

已知F1,F2为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左右焦点,椭圆上的点到F2的最近距离为2,且离心率为
1
3

(1)椭圆C的方程;
(2)设点A(-1,2),若P是椭圆C上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;
(3)若E是椭圆C上的动点,求
EF1
EF2
的最大值和最小值.
分析:(1)由题意得到关于a,c的方程组,求出a,c后利用b2=a2-c2求出b则椭圆方程可求;
(2)设出M点的坐标,利用中点坐标公式用M的坐标表示P的坐标,代入椭圆方程后即可得到M的轨迹方程;
(3)设出E点坐标,代入椭圆方程得到E点横纵坐标的关系,写出向量
EF1
EF2
的坐标,直接代入数量积后可求范围.
解答:解:(1)由条件知
a-c=2
c
a
=
1
3
,解得c=1,a=3.
则b2=a2-c2=8.
所以椭圆C:
x2
9
+
y2
8
=1

(2)设M(x,y),因为M为PA的中点,所以P(2x+1,2y-2).
又因为点P在椭圆上,所以
(2x+1)2
9
+
(2y-2)2
8
=1
即为所求点M的轨迹方程;
(3)设E(x0,y0),则有
x02
9
+
y02
8
=1

因为F1(-1,0),F2(1,0).
所以
EF1
EF2
=(-1-x0,-y0)•(1-x0,-y0)

=x02+y02-1=x02+8(1-
x02
9
)-1=
1
9
x02+7

因为点E在椭圆上,所以0x02≤9
所以
1
9
x02+7∈[7,8]

所以当x02=0时,所求最小值为7,当x02=9时,所求最大值为8.
点评:本题考查了椭圆标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了代入法求曲线方程,考查数量积公式,属中档题.
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