题目内容

8.在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为$\frac{2}{3}$.

分析 由一元二次方程根的分布可得p的不等式组,解不等式组,由长度之比可得所求概率.

解答 解:方程x2+2px+3p-2=0有两个负根等价于$\left\{\begin{array}{l}{△=4{p}^{2}-4(3p-2)≥0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-2p<0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=3p-2>0}\end{array}\right.$,
解关于p的不等式组可得$\frac{2}{3}$<p≤1或p≥2,
∴所求概率P=$\frac{1-\frac{2}{3}+5-2}{5-0}$=$\frac{2}{3}$
故答案为:$\frac{2}{3}$

点评 本题考查几何概型,涉及一元二次方程根的分布,属基础题.

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