题目内容

已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R),

(1)若函数的值域为[0,+∞),求a的值;

(2)若函数的值均为非负值,求函数g(a)=2-a|a+3|的值域.

答案:
解析:

  解:(1)因为f(x)=x2-4ax+2a+6=(x-2a)2-4a2+2a+6,值域为[-4a2+2a+6,+∞).又题目已知值域为[0,+∞),所以-4a2+2a+6=0,解得a=-1或

  (2)因为函数f(x)的值域为[-4a2+2a+6,+∞),而函数的值均为非负,所以-4a2+2a+6≥0,解得-1≤a≤,此时a+3≥0,所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-(a+)2,因为函数图象开口向下,对称轴a=,所以,当a=-1时,g(a)min=4,当a=时,g(a)max,所以函数的值域为[,4].

  点评:此题还是二次函数的求值域问题.虽然函数中含有参数a,但因为题目告诉了函数的值域,且定义域为R,所以很容易求出参数a的值.

  第(2)小题中g(a)去掉绝对值其实还是二次函数求值域,只是要注意题目隐含的a的范围.


提示:

本题仍是二次函数的值域问题,基本方法为配方法.


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