题目内容

设函数f(x)=-x3x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.

(1)当m=1时,求曲线yf(x)在(1,f(1))点处的切线的方程;

(2)求函数f(x)的单调区间与极值;

(3)已知函数g(x)=f(x)+有三个互不相同的零点,求m的取值范围.

解析 (1)当m=1时,f(x)=-x3x2f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.

所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.

切线方程为3x-3y-1=0.

(2)f′(x)=-x2+2xm2-1,令f′(x)=0,得到x=1-mx=1+m.

因为m>0,所以1+m>1-m.

x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,1-m)

1-m

(1-m,1+m)

1+m

(1+m,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

极小值

极大值

f′(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)内减函数,在(1-m,1+m)内增函数.

函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=m3m2.

函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),

f(1-m)=-m3m2.

(3)由(2)知,

函数g(x)在x=1+m处取得极大值g(1+m)=f(1+m)+

g(1+m)=m3m2.

函数g(x)在x=1-m处取得极小值g(1-m)=f(1-m)+

g(1-m)=-m3m2.

根据三次函数的图像与性质,函数g(x)=f(x)+有三个互不相同的零点,只需要

所以m的取值范围是.

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