题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $数学公式$ ．
（1）求sinC的值；
（2）若a=6，求△ABC的面积S的值．

解：（1）∵cosA= $\text{[math]}$ ，b=5c，
∴a²=b²+c²-2bccosA=25c²+c²-10c²× $\text{[math]}$ =18c²，
∴a=3 $\text{[math]}$ c，
∵cosA= $\text{[math]}$ ，0＜A＜π，
∴sinA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴sinC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）a=3 $\text{[math]}$ c，a=6，
∴c= $\text{[math]}$ ，
∵b=5c，
∴b=5 $\text{[math]}$ ，又sinA= $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ bcsinA= $\text{[math]}$ ×5 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =3．
分析：（1）利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，将cosA及b=5c代入，整理后用c表示出a，再由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由表示出的a及c，利用正弦定理即可求出sinC的值；
（2）由a的值及用c表示出的a，求出c的值，进而再由b=5c求出b的值，最后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积S．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．