Question

已知2x≤256且log2x≥

1

2

，求函数f（x）=log2

x

2

•log

2

x

2

的值域．

Answer 1

分析：由2^x≤256及log2x≥

1

2

可求x的取值范围，利用对数的运算性质对所求函数进行化简可得，y=（log₂x）²-3log₂x+2，可令log₂x=t，由x得范围可求t的范围，则可转化为关于t的二次函数y=t²-3t+2，利用二次函数的性质可求函数值域

解答：解：由2^x≤256得x≤8，则

1

2

≤log₂x≤3，
y=f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x）²-3log₂x+2，
令log₂x=t，则t∈[

1

2

，3]，
则y=t²-3t+2，其中对称轴为t=

3

2

，故当t=

3

2

时，y有最小值是-

1

4

，
故t=3时，y最大值2，故函数值域是[-

1

4

，2]．

点评：熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，二次函数在闭区间上的最值（值域）的求解是函数部分常考的试题，利用函数的图象是解决此类问题的关键．