Question

15．若正数a，b满足a+b=2，则$\frac{1}{a+1}$+$\frac{4}{b+1}$的最小值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 9
• D． 16

Answer 1

分析 由题意可得（a+1）+（b+1）=4，可得$\frac{1}{a+1}$+$\frac{4}{b+1}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a+1}$+$\frac{4}{b+1}$）[（a+1）+（b+1）]=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{b+1}{a+1}$+$\frac{4（a+1）}{b+1}$]，由基本不等式可得．

解答 解：∵正数a，b满足a+b=2，
∴（a+1）+（b+1）=4
∴$\frac{1}{a+1}$+$\frac{4}{b+1}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a+1}$+$\frac{4}{b+1}$）[（a+1）+（b+1）]
=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{b+1}{a+1}$+$\frac{4（a+1）}{b+1}$]≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{b+1}{a+1}•\frac{4（a+1）}{b+1}}$）=$\frac{9}{4}$
当且仅当$\frac{b+1}{a+1}$=$\frac{4（a+1）}{b+1}$即a=$\frac{1}{3}$且b=$\frac{5}{3}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代换是解决问题的关键，属中档题．