Question

已知函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点(

π

3

，0)和(

π

2

，1)．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）将点(

π

3

，0)和(

π

2

，1)的坐标代入f（x）=asinx+bcosx，解关于a与b的方程组即可；
（2）将a=1，b=-

3

代入f（x）=asinx+bcosx，得f（x）=sinx-

3

cosx=2sin（x-

π

3

），从而可求得其单调递增区间．

解答：解：（1）因为函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点(

π

3

，0)和(

π

2

，1)，
所以

asin π 3 +bcos π 3 =0 asin π 2 +bcos π 2 =1

即

3 2 a+ 1 2 b=0 a=1

…（4分）
解得a=1，b=-

3

…（6分）
（2）由（1）得f(x)=sinx-

3

cosx=2(

1

2

sinx-

3

2

cosx)…（8分）
=2sin(x-

π

3

)，
所以，2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)即2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

(k∈Z)…（10分）
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

](k∈Z)…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查函数的单调性与辅助角公式的应用，属于中档题．