题目内容

已知以点C (t, )(tR),t≠0)为圆心的圆与x轴交于点OA,与y轴交于点OB,其中O为坐标原点.

(1)求证:△OAB的面积为定值;

(2)设直线y= –2x+4与圆C交于点MN若|OM|=|ON|,求圆C的方程.

(3)若t>0,当圆C的半径最小时,圆C上至少有三个不同的点到直线ly的距离为,求直线l的斜率k的取值范围.

 

【答案】

(1)∵圆C过原点O,∴OC2=t2+ 则圆C的方程为

x=0,得y1=0,y2=;令y=0得x1=0,x2=2t,即A(2t,0)  B(0, )

S△OAB=OA×OB=||×|2t|=4.……4分

△OAB的面积为定值

(2)∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,∴OC垂直平分线段MN

KMN = – 2      ∴KOC=

 解得t=2或t = –2.

t=2时,圆心C的坐标为(2,1)半径OC=,此时圆心到直线y= –2x+4的距离d=,即圆C与直线y= –2x+4相交于两点。  

t=-2时,圆心C的坐标为(–2,–1)半径OC=

此时圆心到直线y= –2x+4的距离d=>, 即圆C与直线y= –2x+4不相交,

t= –2不合题意,舍去.∴圆C的方程为(x –2)2+(y –1)2=5.……9分

(3)半径OC=.当且仅当t=时取等号 ∵t>0 ∴t=

此时圆心坐标为C)半径为2.

若圆C上至少有三个不同的点到直线ly=k(x –3 –)的距离为

则圆心C到直线的距离d.即:  所以–

【解析】略

 

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