题目内容
已知以点C
(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程.
【答案】
(1)见解析；(2)(x－2)2＋(y－1)2＝5.
【解析】
试题分析：(1)先求出圆的方程，然后求出与坐标轴的交点坐标，然后求S△AOB＝
OA·OB＝|2t|·
＝4为定值；(2)由OM＝ON，知O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，由C、H、O三点共线求出t＝2或t＝－2，从而得出圆方程.此题注意圆方程的取舍.
试题解析： (1)证明 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋
2＝t2＋
，
化简得x2－2tx＋y2－
y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；
当x＝0时，y＝0或，则B
，∴S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值．
(2)解 ∵OM＝ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝
＝
＝，∴t＝2或t＝－2.
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1).
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，
由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.
练习册系列答案
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)(t∈R)，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
＝k(x－3－
)的距离为
，求直线l的斜率k的取值范围．
)（t∈R），t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．
的距离为
，求直线l的斜率k的取值范围．
轴交于点O, A, 与y轴交于点O, B, 其中O为原点. 
轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求t的值并求出圆C的方程．